以远场模型 平面波为例,讲解时空采样定理！

时间域和空间域特征

以远场模型(平面波)为例，假设均匀线阵接收窄带信号，假设相邻振动单元之间的距离为D，入射角为：

从空间坐标来看，相邻振子之间的间隔为dsin。

相当于时间轴，采样点之间的间隔为dsin，对应的时间间隔为：

二、时间、空间和采样定理

一、空域角度理解

相邻振动元件之间的相位差为：

以干涉仪为例。如果存在相位模糊，则存在

如果你不想要相位模糊，k是一个非零整数。

对应于扫描边界，有

很容易证明，和干涉仪一样，均匀线阵谱估计中的导向矢量如果不满足上述约束，也会出现多峰。

b、时域透视理解

如前所述，采样点对应的时间间隔就是采样周期。空间域的均匀线阵对应于时间域的均匀采样。采样频率：

入射信号的频率为：

如果采样中没有混叠，则需要满足奈奎斯特采样定理：

该约束相当于：

可以看出，均匀线阵的相位模糊对应于时域均匀采样的奈奎斯特定理。另外，如果是非均匀线阵、圆阵等形式。可以理解为对应维度的非均匀采样；从空间域的角度来看，非均匀阵列可以解决模糊问题。从时域来看，稀疏采样/非均匀采样可以突破奈奎斯特采样定理。

三、小时，空间和功率谱

波束形成主要是增强/抑制感兴趣的方向，而谱估计更多的是参数估计问题。前一种操作多为主动，后一种操作多为被动。MVDR算法对两者都适用。让我们暂且把应用程序场景放在一边，只理解光谱从时间和空间角度看功率谱的特征。

接下来先从时间域的角度来表述时间域和空间域的上述思路，为了简化不考虑加窗。

一、时域透视理解

对于n个点的均匀采样信号uN(n ),进行傅立叶变换：

uN(n)的相关函数为：

很容易证明存在以下对应关系：

对应于相关函数的傅立叶变换是功率谱密度，其可以被求解：

B.从空气空间的角度理解

n个均匀线阵接收单元，对应的波束形成如下：

也就是说，空间域中的波束形成可以理解为时间域中的傅立叶变换，

因此，空间域的功率谱密度可以等价于：

考虑到时间域和空间域的等价性，理解空间域的功率谱是合理的。

现在常用的MVDR算法用来理解这种等价性：

接收信号：

MVDR是一个带有等式约束的优化问题：

您可以解决：

此时，如果将最优W带入Y，则从空间角度理解，Y对应是波束形成的结果。时域透视：Y对应傅里叶变换的结果。

通常MVDR的结果是E[y*y]的输出。根据上面的分析，结果是来自时间域的功率谱(一个常数差)，所以称它为光谱从空间域，和相应的功率(频谱):

因为是在空间域，所以为了与时域功率谱的名称相区别，可以称之为空间谱。

本文对具体空间谱名的由来没有考证。本文只提供了一种理解空间光谱，至少是光谱像音乐这样的算法与此不同，也许像音乐这样的算法只是继承了空间光谱。