高中函数值域的求法及例题，高中函数值域的12种求法

对于高中函数值域的求法及例题，高中函数值域的12种求法，很多网友还不是很明白，今天艾巴小编收集了这方面的知识，就将其分享出来。

操作方法：

1.观察法通过观察函数的定义和性质，结合函数的解析式，得出函数的值域。例1求函数y=3 (2-3x)的值域。指点：根据算术平方根的性质，先找出 (2-3x)的范围。解：从算术平方根的性质我们知道 (2-3x) 0，所以3 (2-3x) 3。函数的定义域是。点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)平方根的非负性，(2)值的非负性。

直接观察算术平方根的性质就解决了这个问题。这种方法对于求一类函数的值域简单明了，是一种巧妙的方法。

2.反函数法当函数的反函数存在时，其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x 1)/(x 2)的值域。搂抱：先求原函数的反函数，再求其定义域。解：显然，函数y=(x 1)/(x 2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1)，其定义域为y1的实数，所以函数y的值域为{y y 1，y r}。点评：用反函数法求原函数的定义域，前提是原函数有反函数。

这种方法体现了逆向思维的思想，是解决数学问题的重要方法之一。

3.匹配法当给定函数是二次函数或可以化为二次函数的复合函数时，可以用匹配法求函数的值域。例3:求函数y= (-X2X2)的值域。指点：将根号公式化为完全平方数，利用二次函数的最大值求。解：从-X2X2 0可以知道函数的定义域是X [-1，2]。

此时，-x2 x2=-(x-1/2)2+9/4[0，9/4] 0 -X2X2 3/2，函数的取值范围为[0，3/2]。点评：求函数的值域，不仅要注意对应关系的应用，而且匹配法是数学中一种重要的思维方法。

4.如果判别式法可以转化为关于一个变量的二次方程的分式函数或无理式函数，则可以用判别式法求出函数的值域。例4求函数y=(2x2-2x3)/(x2-x1)的值域。指点：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式确定原函数的取值范围。解决方法：把上面的公式改成(y-2) x2-(y-2) x (y-3)=0 (*)。当y2时，由=(y-2) 2-4 (y-2) x (y-3) 0，解为2。

函数的范围是2

5.闭区间[a，b]上连续函数y=f(x)的最大值方法，我们可以求出y=f(x)在区间[a，b]上的极值，并与边界值f(a)进行比较。f(b)求函数的最大值，得到函数y的值域例5:已知(2x2-x-3)/(3x2 x 1)0，满足x y=1。求函数z=xy 3x的值域。指点：根据已知条件求自变量X的取值范围，消去目标函数和公式，求函数的取值范围。

解：3x2x1 > 0，上面的分式不等式和不等式2x2-x-30有相同的解，解为-1 x 3/2，x y=1。当x=-1，z=-5时，将y=1-x代入z=xy 3x，Z=-x24x(-1x3/)；当x=3/2时，z=15/4。函数z的值域为{z -5 z 15/4}。点评：此题是将函数的值域问题转化为函数的最大值问题。

如果区间有最大值，也可以通过求最大值得到函数的值域。

6.图像法通过观察函数的图像，结合数形得到函数的取值范围。例6求函数y=x 1 (x-2)2的值域。指点：根据绝对值的意义，去掉符号，转换成分段函数，使其形象化。解：原函数为-2x1 (x 1) y=3 (-1x 2) 2x-1 (x2)其像。显然，函数值y3，所以函数值域[3，+]。点评：分段函数要注意函数的端点。

利用函数的形象来求函数的值域，体现了数形结合的思想。是解决问题的重要途径。求函数值域的方法很多，也适合通过不等式法、函数单调性、换元法等方法求函数值域。

7.单调法利用函数在给定区间内单调递增或递减的求值域。例1求函数y=4x- 1-3x (x 1/3)的值域。搂抱：已知函数为复合函数，即g (x)=- 1-3x，y=f (x) g (x)，其定义域为x1/3。在这个区间内，分别讨论函数的增加和减少，从而确定函数的取值范围。

解：设f(x)=4x,g(x)=1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x1-3x在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

8.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=2x+1 （t0）,则x=1/2(t2-1)。 于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y7/2。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

9.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。

当A、K、C三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5。 点评：对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

10.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=3/5时，x=3/5,y=4/5时，zmin=1。

函数的值域为z|z1. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

11.利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0，故y3。 函数y的值域为y3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

12.不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知x/(1-x)0 1-x0 解得，0x1。 函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。

不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

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