高等数学:如何用分部积分法求积分方程，高等数学：如何用分部积分法求积分

对于高等数学:如何用分部积分法求积分方程，高等数学：如何用分部积分法求积分，很多网友还不是很明白，今天艾巴小编收集了这方面的知识，就将其分享出来。

操作方法：

0 :1、设函数u=u(x) 和v=v(x) 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv'phase-平移得uv'=(uv)'-u'v 对该方程两边进行不定积分，可得uv'dx=uv-u'vdx (1) 式(1)称为积分零件公式。如果求uv'dx 比较困难，但求u'vdx 相对容易，则分部积分公式就可以发挥作用。为了简单起见，式（1）也可以写成如下形式udv=uv-vdu

0 :2、现在用例子来说明问题1.求xlnxdx 的解：设u=lnx, dv=dx,则xlnxdx=lnxd(x^2/2)=x^2/2lnx -x ^2/2d(lnx)=x^2/2lnx-1/2xdx=x^2/2lnx-x^2/4+C

0 :3、第2 列。arccosxdx 解：令u=arccosx, dv=dx，则arccosxdx=xarccosx-xd(arccosx)=xarccosx+x/(1-x^2)dx=xarccosx- 1 /21/(1-x^2)^1/2d(1-x^2)=xarccosx-(1-x^2)+C

0 :4、小结一：分部积分法运用得比较熟练后，就不用再写哪一部分选u、哪一部分选dv了，只要将被积函数表达式组合成( x)dv( x)的形式，可以用分部积分公式列出问题3.求x^2sin^2xdx的解：第一个选择是降低幂，因为sin^2x=1/2(1-cos2x)，所以x^2sin^2xdx=1/2x^2(1-cos2x)dx=1/6x^3-1/4x^2dsin(2x)。继续积分法，可得x^2sin^2xdx=1/6x ^3-1/4x^2sin2x+1/2xsin2xdx=1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4xdcos2x=1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4xcos2x+1 /8sin2x+C 第4栏问题。x^2e^xdx解：令u=x^2, dv=e^xdx=d(e ^x)，则x^2e^xdx=x^2d(e ^x)=x^2e^x-e^xd(x^2)-2xe^xdx 这里xe^xdx 更容易比x^2e^xdx 积分，因为被积函数中x 的幂前者比后者低一次，所以对xe^xdx 再次使用分部积分法就足够了，所以x^2e ^xdx=x^2e^x-2xe^xdx=x^2e^x-2xd(e^x)=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C=e^x (x^2-2x+2)+C

0:5、小结2：从上面两个例子我们可以知道，如果被积函数是幂函数和正（余弦）正弦函数或者幂函数和指数函数的乘积，可以考虑使用分部积分法，设幂函数为u，用分部积分法将幂函数的幂减少一次，直至得到答案。这里，假设幂指数是正整数。第5 列。求xarctanxdx 的解： xarctanxdx=1/2arctanxd(x^2)=x^2/2arctanx-1/2x^2/(1+x^2)dx=x^2/2arctanx-1/2(1+x^2-1)/(1+x^2)dx=x^2/2arctanx-1/2[1-1/(1+x^2)]dx=x^2/2arctanx-1/2(x-arctanx)+C=1/2(x^2+1)arctanx-1/2x+C

0 :6、总结3：如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，可以考虑分部法积分，设置对数函数或反三角函数如u.column 问题6。 e^xsinxdx 解： e^xsinxdx=sinxd(e^x)=e^xsinx-e^xcosxdx 等式右侧的积分与等式左边积分，右边积分再用分部法积分，可得e^xsinxdx=e^xsinx-cosxd(e^x)=e^xsinx-e^xcosx -e^xsinxdx，因为上式右边第三项就是我们要求积分的e^xsinxdx，将其移到等号左端，然后两端除以2，则得到e^xsinxdx=1/2e^x(sinx-cosx)+C 因为上式右端不包含积分项，所以必须在三大总结对应题型中添加任意常数C分部积分法。如果大家还不能理解的话，我们在下一章有表格，可以更有利于大家的理解。 （1）首先写成udv（或uv'dx）的形式。 (2)多次应用分部积分的方法，可以简化各部分的积分，直至最终计算。 (3)有时可以采用分部积分的方法导出f(x)dx的方程，然后求解。 (4) 有时可采用分部积分法导出递推公式。大学高等数学中的不定积分采用分部积分法时，一般来说，掌握前三种就足够了。就连考试的大结局也逃不出这个范围，对于考研（只对数1）用分部积分法推导递归公式的同学来说，需要自己多做题才能理解。

以上知识分享到此为止，希望能够帮助到大家！